A Walter számok halmaza

Ajánlom minden olyan ismerősöm figyelmébe, aki azt hiszi, hogy a gyök kettő nem is igazi, az pedig egyáltalán nem létezik.

Szóval kezdett elegem lenni abból, hogy egyesek néhány sör után elkezdik támadni a számukra ismeretlen matematikai fogalmak sokaságát azzal az érvvel, hogy olyan nincs is. Igen, a gonosz matematikusok kitalálnak mindenféléket csak azért, hogy ezzel is bosszantsák a köznépet.

Hosszas gondolkodás után arra jutottam, hogy az emberek legnagyobb része úgy néz minden matematikai fogalomra, hogy azt próbálja beleerőltetni a számára ismeretes fogalmak rendszerébe, és ha nem megy, akkor az új fogalom minden bizonnyal lehetetlen.

Vegyük például a -t. Sok ember számára az irracionális számok egyszerűen nem léteznek (). A számok összessége tehát a racionális számok () halmazára korlátozódik. Ha egy ilyen személynek azt mondjuk:

Képzeld Feri1, .

Feri ezt így értelmezi:

Képzeld Feri, .

És így válaszol:

De hát Jola2! !

A racionális számokkal () már többen ki vannak békülve, az egész számokat () pedig mindenki komázza. Pedig ha ugyanezt megcsináljuk egy gyerekkel:

Szia Peti! Hallottad? !

Peti fejében:

Szia Peti! Hallottad? !

De Attila, hiszen !

És aztán megkérdezzük Ferit,

Feri, mit szólsz Peti válaszához?

Ne bántsd már! Peti alig múlt kettő, majd ha nagyobb lesz, megérti.

Pedig Peti és Feri ugyanazt a hibát követik el: a kérdést úgy értelmezik, ahogy az az ismereteiknek megfelel. És sok egyetemet végzett ismerősöm is ugyanúgy belesétál ebbe.

Ezért szeretném kihangsúlyozni minden kedves olvasó számára, hogy amikor azt mondja valaki, hogy , azt nem úgy érti, hogy , mert hát , és ezzel meg is ismertük a komplex számok halmazát:

Itt sem kell megállni, hogy “jól van, több már úgysincs”, mert én meg azt mondom:

Nyilvánvaló, hogy . Ez viszont nem jelenti azt, hogy , mert nem adtam meg semmilyen “fölső határt” -re. Sőt, a fönti egyenlőségrendszernek számtalan megoldása van, csakhogy egyik sem komplex. (A kortárs matematikában a fönti képlet megoldását -vel szokták jelölni.)

A számtalan megoldás közül csak egyet említenék meg:

Ezzel definiáljuk az ún. Walter-féle számokat:

A halmazt a többi számhoz viszonyítva az alábbi Venn-diagrammal szemléltetem:

W halmaz

Melyben:

A Walter számok halmazára érvényesek a következők:

  • A halmaz számossága (lásd: kontinuumhipotézis).
  • A halmaz nem kapható meg Cayley–Dickson konstrukcióval (más szóval nem kvaternion).
  • Ha a csoport kommutatív (azaz Abel-csoport), és a halmaz egységeleme a , akkor (és csakis akkor) a csoportot Walter-csoportnak nevezzük.
  • Ebből következik, hogy test Walter-test akkor és csakis akkor, ha Walter-csoport, továbbá
  • a gyűrű Walter-gyűrű akkor és csakis akkor, ha Walter-csoport.

1Feri nevét megváltoztattuk a pofonok elkerülése érdekében.

2Az én nevemet is megváltoztattuk.